بررسی زیرگراف های مقاوم و مونوپولی در گرافها و مسائل اکستریمال مرتبط با آنها

‎‎‎‎چکیده مونوپولی دینامیک در گراف ها یکی از ابزارهایی است که برای مطالعه ی گسترش تأثیر در یک شبکه ی اجتماعی مورد استفاده قرار می گیرد. یک شبکه ی اجتماعی به صورت گرافی مانند ‏ نمایش داده می شود. فرض کنید هر رأس ‎v?v(g)‎‎‏ دارای آستانه ی ?(v)?n‎‎‎‏ باشد که در آن ‎‎‎ nمجموعه ی اعداد طبیعی است. ‎‏مجموعه ی ‎‎‎d?v(g)‎‎‏ یک ? ‎‎‎‏-مونوپولی دینامیک است اگر ‎‎‎v(g)‎‎‏ را به مجموعه های‎‎‎d_0=d,d_1,…,d_k ‎‎‏ افراز کند به ‎‏طوری که به ازای هر ‎‎‎i‎‎‏‏، هر رأس مانند ‎‎‎v‎‎‏ در‏ di‎‎ حداقل‏ ?(v)‎‎‏‎ همسایه در ‎‎‎d_0?…?d_(i-1) داشته باشد. در گراف ‎‎‎g‎‎‎‏‏، مجموعه ی d?‎‎‎ v(g)‎‎‏ یک ?‎‎‎‏-مونوپولی نامیده می شود اگر هر رأس ‎‎‎v?v(g)d حداقل?(v) همسایه در ‎‎‎d‎‎‏ داشته باشد. ‏مونوپولی ها مواردی خاص از مونوپولی های دینامیک هستند. در این پایان نامه به بررسی رابطه ی بین مونوپولی و تطابق در برخی گراف ها می پردازیم. مونوپولی های دینامیک برای بررسی پدیده های گسترشی که با فرآیندهای قرنطینه کردن همراه هستند، مناسب نیستند. برای این منظور‏، در این پایان نامه‏، مدل جدیدی تحت عنوان مونوپولی دینامیک ضعیف را برای پرداختن به این نوع گسترش تأثیر در جامعه ارائه می دهیم. مجموعه ی ‎‎‎ d?‎‎‎ v(g) یک ‎‎‎ ? ‎‎‎‏-مونوپولی دینامیک ضعیف در گراف ‎‎‎g‎‎‏ نامیده می شود اگر ‎‎‎d‎‎‏ مجموعه ی ‎‎‎v(g)‎‎‏ را به مجموعه های ‎‎‎d_0=d,d_1,…,d_tافراز کند به طوری که برای هر ‎‎‎i‎‎‎‏‏، هر رأس ‎‎v‎‎‎‎‏ در ‎‎‎d_i‎‎‏ حداقل ‎‎‎ ?(v)همسایه در ‎‎‎d_(i-1)‎‎‏ داشته باشد. ‎‎‎t‎‎‏ در این تعریف‏، زمان اجرای مونوپولی دینامیک ضعیف نامیده می شود. در این پایان نامه‏،‏ به بررسی مونوپولی های دینامیک ضعیف در گراف ها پرداخته و به علاوه کران هایی برای زمان اجرای یک مونوپولی دینامیک ضعیف ارائه می دهیم. در این میان‏، مجموعه ی ‎‎‎m? v(g)‎‎‏ یک مجموعه ی ‎‎‎?‎‎‎‏-مقاوم در ‎‎‎g‎‎‏ است اگر برای هر رأس ‎‎‎v? m‎‎‏‏، ‎‎‎?(v)?d(v)-d_m (v)+1 که در آنd_m (v) ‎‎‎درجه ی رأس ‎‎‎v‎‎‏ در ‎‎‎m‎‎‏ را نشان می دهد. اندازه ی کوچکترین ‎‎‎?‎‎‎‏-مقاوم در ‎‎‎g‎‎‏ را با ‎‎‎?_? (g)نمایش می دهیم. برای هر مقدار صحیح ‎‎‎s‎‎‏ با شرط ‎‎‎|g|?s?2|e(g)|، ?_s^* (g) را به صورت زیر تعریف می کنیم.‎ ?_s^* (g)=?max?_(?:?_(v?v(g))???(v)?) ?_? (g). در اینجا به مطالعه ی خواص ‎‎‎? ??_s^* (g)به عنوان تابعی بر حسب ‎‎‎s‎‎‏ می پردازیم. هم چنین‏، ‎‎?_s^* (k_n)را به ازای هر مقدار صحیح ‎‎‎s‎‎‏ محاسبه می کنیم. واژه های کلیدی : مونوپولی‏، مونوپولی دینامیک‏، مونوپولی دینامیک ضعیف‏، زیرمجموعه ی مقاوم‏، تابع آستانه ای.